≡ Menu

Υπάρχει περίπτωση να φάω πέναλτι;

Google PenaltyΈνα σοβαρό ερώτημα που τίθεται καθημερινά είναι η ερώτηση «Υπάρχει περίπτωση να φάω πέναλτι»; Και όλα γίνονται μετά ουτοπικά. Ευτυχώς, εμείς – η ομάδα του Visibility με καθαρά μαθηματικό τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε αν υπάρχει έστω και μία περίπτωση κάποιος να φάει πέναλτι οπότε δεν είναι ανάγκη να αγχώνεστε!

Για να αποδειχθεί βέβαια ότι κάποιος «υπάρχει περίπτωση να φάει πέναλτι» αρκεί μονάχα να αποδείξουμε ότι η εξίσωση μας στην συγκεκριμένη περίπτωση έχει ρίζα. Έτσι με λίγα λόγια – Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] και ισχύει f(α).f(β) < 0 τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγματικός αριθμός ξ, που ανήκει στο ανοικτό διάστημα (a,b) ο οποίος θα είναι η ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0.

Google Penalty & Bolzano

«Τώρα βάλτε την φαντασία σας για να μπείτε στο ζουμί. Η καμπύλη η παραπάνω είναι ΟΛΑ τα websites του Visibility. Από το 1 έως το 800.000 που έχει το σύστημα μας. Το κλειστό όριο [α,β] φανταστείτε ότι είναι οι 130.00 λέξεις του συστήματος. Άρα, 800.000 websites εμφανίζονται για 130.00 λέξεις. Εμείς δεν έχουμε παρά να αποδείξουμε ότι «κάποιο» ξ θα φάει κλωτσιά από τον Chuck Norris

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO

Αν είναι f(a)f(b)<0 και   f συνεχής στο [a , b] τότε υπάρχει ξ ∈ (a , b) ώστε f(ξ) = 0 .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω f(a) < 0 ,   f(b)>0 . Θεωρούμε το σύνολο S = {x ∈ [a , b] / f(x) < 0} . Προφανώς S # o καθώς a ∈ S

Ας είναι ξ το ελάχιστο άνω φράγμα του S δηλαδή   ξ = supS

Αφού f συνεχής στο a θα έχουμε [pmath]lim{x→a+}{f(x) = f(a) < 0}[/pmath] άρα υπάρχει γ > 0 ώστε f(x) < 0 x ∈ [a , γ) και αντίστοιχα [pmath]lim{x→b-}{f(x) = f(b) < 0}[/pmath] άρα υπάρχει δ > 0 ώστε f(x) > 0 x ∈ [δ , b)

Συνεπώς ξ ∈ γ (σε αντίθετη περίπτωση το ξ δεν θα ήταν άνω φράγμα) και ξ ≤ δ (σε αντίθετη περίπτωση το ξ δεν θα ανήκε στο σύνολο S)

Ώστε ξ ∈ (a , b) . Αλλά f συνεχής στο ξ και υποθέτοντας ότι f(ξ) < 0 θα υπάρχει περιοχή του ξ , η

(ξ – k , ξ+k) για τα όλα τα στοιχεία x της οποίας να είναι f(x) < 0 . Αλλά τότε φυσικά το ξ δεν θα ήταν το sup του S, άτοπο. Στην περίπτωση που υποθέσουμε ότι f(ξ) > 0 θα υπήρχε περιοχή του ξ, η (ξ – m , ξ+m) για όλα τα στοιχεία x της οποίας θα είχαμε f(x) > 0. Αλλά τότε φυσικά όλα αυτά τα x δεν θα ανήκουν στο S, πράγμα που σημαίνει πως υπάρχει μικρότερο άνω φράγμα του S από το ξ, άτοπο, καθώς υποθέσαμε ότι αυτό είναι το ελάχιστο.

Ώστε f(ξ) = 0 .

Το ζουμί; Ναι, υπάρχει περίπτωση να φας πέναλτι.

Σχόλια